Question

线性代数问题求解？

非齐次线性方程组AX=b，R(A)=R(A,b)=r<n (n是未知量个数)，则该方程组的基础解系含有n-r个线性无关的解向量。此说法是否正确？ 为什么？

Answer 1

考虑方程组：x+y-z=3。2x+y+3z=4。令 z = 0，得 x=1, y=2。令 x = 0，得 y=13/4, z=1/4。所以，两平面交线过两点 (1, 2, 0) 和 (0, 13/4, 1/4)。求斜率向量：(1, 2, 0) - (0, 13/4, 1/4) = (1/4)*[ (4, 8, 0) - (0, 13, 1) ] = (1/4)*(4, -5, -1)。因此，该交线的向量方程为：(x, y, z) = (1, 2, 0) + t*(4, -5, -1) .......... (t为任意实数)。参数方程为：x=1+4t。y=2-5t。z=-t。(t为任意实数)。

Answer 2

我感觉这方面的题是大学题，如果问题的话就是说三短一长选最长。

Answer 3

正确
因为r(A)=r，存在可逆矩阵PQ,使得
PAQ = diag(Er, 0),其中Er为r阶单位矩阵
也就是可以把方程做等价变换PAQQ'x = Pb，其中Q'为Q的逆矩阵

因为r(A)=r(A,b), 则此时Pb底下n-r行必然全部为0（否则矩阵方程无解）
方程变为
diag(Er, 0) x' =b', x' = Q'x, b' = Pb
或者x' = b' +c，其中c的最后n-r个元素全部为任意常数
所以x'构成的向量组秩n-r， x=Qx'也有n-r秩