Question

实变函数极限问题

希望可以详细一点解释,谢谢各位~

Answer 1

设F(s) = ∫{0,+∞} f(t)e^(-st) dt.
由f(t)非负, e^(-st)关于s单调递减 (t ≥ 0), 可知F(s)单调递减.
又F(s) > 0, 可知lim{s → +∞} F(s)存在.
于是lim{s → +∞} F(s) = lim{n → ∞} F(n).
只需考虑数列F(n)的极限.

考虑函数列fn(x) = f(x)e^(-nx), 易见0 ≤ fn(x) ≤ f(x)对任意x ≥ 0成立.
又f(x)在[0,+∞)可积, 即函数列fn(x)存在可积的控制函数.
易见当n → ∞时, 函数列fn(x)在(0,+∞)上逐点收敛到0, 即极限函数几乎处处为0.
由Lebesgue控制收敛定理, lim{n → ∞} F(n) = lim{n → ∞} ∫{0,+∞} f(t)e^(-nt) dt
= lim{n → ∞} ∫{0,+∞} fn(t) dt
= ∫{0,+∞} lim{n → ∞} fn(t) dt
= 0.

综上lim{s → +∞} F(s) = 0.

注: 其实不预先证明lim{s → +∞} F(s)存在也是可以的.
只需对任意趋于∞的数列a[n], 用Lebesgue控制收敛定理证明F(a[n])都收敛到0.