Question

已知函数f(x)=-x³+ax²+b,(a，b∈R)

已知函数f(x)=-x³+ax²+b,(a，b∈R)若函数图像上任意不同两点连线的斜率小于1,求实数a的取值范围，
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)＜1 ,然后要分主元和次元做，怎么做啊。不要用别的方法

Answer 1

解：（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），
不妨设x1＞x2，
则(y1−y2)/(x1−x2)＜1，即[−x 1^3+ax 1^2+x 2^3−ax 2^2]/[x1−x2]＜1，
∴[−(x1−x2)(x1^ 2+x1x2+x 2^2)+a(x1−x2)(x1+x2)]/[x1−x2]＜1
整理得：x1^2+（x2-a）x1+x2^2-ax2+1＞0
∵x1∈R
∴△=（x2-a）^2-4（x2^2-ax2+1）＜0即3x2^2-2ax2-a^2+4＞0
∵x2∈R
∴△=4a^2-12（-a^2+4）＜0即a^2-3＜0
∴- 根号3＜a＜根号 3
方法二:

解：∵f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1
∴f′(x)＜1
∵ f(x)=-x^3+ax^2+b(a,b属于R)
∴f′(x)=-3x^2+2ax
∴-3x^2+2ax＜1
∴-3x^2+2ax-1＜0

3 x^2-2ax+1>0
只要判别式=4a^2-12<0
∴a^2<3
∴-√3<a<√3

追问

第一种方法里为什么把 x1当为主元，算出a的取值范围之后，还有把x2当为主元再算一次呢？

Answer 2

倒数学过吗？