Question

（超超高分悬赏）高手帮忙一下，大学数学问题（微积分）

高手帮忙一下，大学数学问题（微积分），例如，x^2+y^2-r^2=0是一个自变量为x、因变量为y的隐函数，为了求y对x的导数，将上式两边逐项对x求导，并将y^2看做x的复合函数。右端的导数显然为0，则有 (d/dx)(x^2)+ (d/dx)(y^2)- (d/dx)(r^2)=0 即 2x+2y(d/dx)=0 于是得到 x+y(d/dx)=0 所以 (dy/dx)=-x/y 从上例可以看出，在等式两边逐项对自变量求导数，即可得到一个包含y’的一次方程，请问什么叫等式两边逐项对自变量求导？对于上题，将上式两边逐项对x求导这是怎么做的？还有将y^2看做x的复合函数这是什么意思？还有y对x的导数，这怎么理解？请详细一点，看在我将式子给出的情况下，请高手也编辑一下数学符号吧，求你了，看在我焦急的情况下。（超高分悬赏）

Answer 1

逐项求导就是说方程两边都是多项式，将多项式的每一项分别对
x
求导。
可以不用按照复合函数来求导的。
将x
，y都看做自变量，我们直接对每个项求导就可以了，比如你的式子
x^2
+
y^2
-r^2
=0
那么就有
2xdx
+
2ydy
=0
移项得到
2ydy
=
-2xdx
则有
dy/dx
=
-x/y
这是其中的一种方法。
如果非要按照复合函数的求导的方法，只有
x
是自变量，那么
y
就是一个关于
x
的函数，那么上述方程左边对
y^2
项求导就要分两步，第一步是
y^2
对
y
求导得
2y
，然后乘以
y
对
x
求导即
y‘（这其实也就是dy/dx）
我说的方法其实是基于微分的道理，因为
dy/dx
是y对x的导数，也可以看做两个变量微分的比值，因此，在逐项求导的过程中，将二者均看做变量，各自求微分，然后合并同类项相除就可以求得导数了。
比如
x^3
+
2xy^2
+
5x^2y
+
2y^3
+
45
=
0
这个隐含表达式
x^3和2y^3和45这三项就不说了，直接对相应变量求导就可以了得到
3x^2dx
、6y^2dy
和
0
。
中间的两项是二元的项，求导的时候，两个变量都要求，求x导数时，将y看做常数，求y导数时，将x看做常数。
如
2xy^2
求导的结果是
2y^2dx
+
4xydy
所有项都求完后，因为等式两边的项要么带有dx，要么带有dy，合并同类项后就必然得到dy/dx