Question

若对于任意的正实数x,y,总有f(xy)=f(x) f(y). 求证f(1/x)=-f(x)

Answer 1

题应该为
：若对于任意的
正实数
x,y,总有f(xy)=f(x)+f(y).
证明
（1）
对于任意的正实数x,y均成立
所以
令x=y=1
则f(1)=f(1)+f(1).
所以
f(1)=0
(2)
令x=y
则f(x^2)=f(x)+f(x).
所以
f(x^2)=2f(x)
(3)f[(1/x)x]=f(1/x)+f(x)=f(1)
因为
f(1)=0
所以
f(1/x)+f(x)=0
所以
f(1/x)=-f(x)
(4)f(x/y)=f(x)+f(1/y)
因为
f(1/x)=-f(x)
即f(1/y)=-f(y)
所以
f(x/y)=f(x)-f(y)
抽象函数
，一般通过
赋值法
证明

Answer 2

这就是柯西方程，既然已经连续，可以用高等数学来做就好
证明，由于是连续的
f(x+dx)=f(x)+f(dx)=>(f(x+dx)-f(x))=f(dx)=>(f(x+dx)-f(x))/dx)=f(dx)/dx
当dx->0时有对任意x满足
f'(x)=f'(0)=k
=>f(x)=kx+b
=>f(x+y)=f(x)+f(y)=>k(x+y)+b=k(x+y)+2b=>b=0
f(xy)=f(x)*f(y)=>看kxy=k^2xy(对任意x,y成立）=>k^2=k=>k=0或者1
=>f(x)=0或者x
希望能够帮到你，祝好~