Question

若对于任意x,y属于R,f（x+y）=f（x）+f（y）且f'（0）=1,证明f（x）可导

Answer 1

显然f(0)=0.
由f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)以及f在0点的连续性知f在任意一点x连续。
令a=f(1)。归纳可得f(nx)=nf(x)，n为整数。
于是f(n)=an, f(1/n)=a/n，令x=1/m得f(n/m)=an/m。
从而f(x)=ax对有理数成立，由连续性知对任意x∈R成立。