Question

若函数y=f(x)对任意X,Y属于R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)

(1)如果x>0,f(X)<0,判断f（x）的单调性
（2）在（1）的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx平方）+f(-x平方+x-2)>0成立求k的取值范围

Answer 1

（1）令y=1，f(x+1)=f(x)+f(1) 因为x>0,f(X)<0 所以f（1）<0 故f(x)+f(1)<f（x），即f(x+1)<f(x),所以f(x)单调递减

Answer 2

解：
（1）令x=y=0，得f（0）=2f（0）
所以f（0）=0；
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），f（x）=-f（-x）
所以f（x）为奇函数；
设x>y>0，则带入得，f（x+y）=f（x）+f（y）
观察可知，上面三项全是负数，所以得到f（x+y）<f（x），这表明f（x）在x>0的范围是递减函数，又根据其为奇函数，所以在x<0时，f（x）仍单调递减。
（2）根据奇函数的性质，化简不等式得
f（kx^2）>f（x^2-x+2），由(1)可知，f（x）在R范围内，单调递减。则得到kx^2<x^2-x+2，
即x^2-kx^2-x+2>0。
要使任意实数x满足上不等式，则△<0，△=1-8+8k=8K-7
所以K<7/8。