Question

已知函数fx满足fx=-f(-x)，并对任意x,y属于R,总有fx+fy=f(x+y),切当x>0时，fx<0,f(1)=-2/3

1)求证：fx是R上的减函数
2）fx在区间[-3,3]上的最大值和最小值。

Answer 1

1）令x=a,y=1,a∈R
f(a)+f(1)=f(a+1)
f(a+1)-f(a)=f(1)=-2/3<0
∴F(X)在R上是减函数。
2）当x=1,y=1时,
f(1)+f(1)=f(2)
f(2)=-4/3
当x=1,y=2时,
f(1)+f(2)=f(3)
f(3)=-2
f(-3)=-f(3)=2
∵F(X)在R上是减函数
∴f(x)在区间[-3,3]上的最大值为2，最小值为-2.