Question

曲线y=1+√(4-x^2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点时，实数k的取值范围

Answer 1

这个题目
你可以这样分析
将曲线
Y=1+根号(4-X^2)
变形
既是
Y-1=根号(4-X^2)
然后在两边平方就可得到
(Y-1)^2
+X^2
=4
这时候我们发现解析式变成
了圆的方程
但是要注意曲线的
值域
Y>=1
所以
就是
(0,1)为圆心的圆的
上半部分
然后再来看直线
显然直线是
可以化为
Y-4=K(X-2)
也就是说
直线过定点
(2,4)
然后在图象上分析
圆上的点
与直线的定点
的连线就能发现两个极端情况
第一个极端就是
当圆上的点(-2,1)
与
直线
定点(2,4)
的连线恰好有两个交点
这样我们就可以求出一个K值
然而将直线向上旋转的时候都有两个交点,直到第二个极端
就是
当直线与圆的左上相切的时候只有一个交点则我们可以求出这个K值
(求法就是
圆心的点到直线的距离等于
半径
,求出来K有两个值
我们再图象上分析得
将K值应该选与圆相切左上角那个
既是K取小的那个)
所以直线有两个交点的
K
的取值范围是
大于左上相切的K值
小于等于
恰好有两个交点的K值

Answer 2

解答：
利用数形结合的方法
1+根号（4-x^2)=k(x-2)+4
∴
√(4-x^2)=k(x-2)+4
构造函数
y=k(x-2)+3与y=√(4-x^2)
y=k(x-2)+3表示的是过定点(2,3)的一条直线.
y=√(4-x^2)表示的是上半圆:x^2+y^2=4
数形结合可得:
当直线经过a(-2,0)时有两个交点,一直转到与圆相切时才变成一个交点.
直线过a(-2,0)时,k=3/4
直线与圆相切时,利用圆心到直线的距离d=｜3-2k｜/√(k^2+1)=2
解得
k=5/12
所以:
k∈（5/12,3/4].