Question

求微分方程满足已给初始条件的特解：y" －3y'＋2y＝5,y｜x=0＝1,y'｜x=0＝2

Answer 1

分为齐次解和特解
齐次解：y''-3y'+2y
=
0
特征方程：r^2
-
3r
+
2
=
0
r=
1
或
2
齐次解：y
=
c1*e^x
+
c2*e^(2x)
特解：y*
=
c3
代入原方程得：0-0+2c3=5
c3=5/2
所以原方程的通解是y＝c1*e^x
+
c2*e^(2x)+5/2
y(0）=1,即c1+c2+5/2=1
y'=c1*e^x+2*c2*e^(2x)
y'（0）=2,即c1+2c2=2
解得c1=-5,c2=7/2
所以原方程的解是y＝-5*e^x
+
7/2
*e^(2x)+5/2

Answer 2

y"-3y'+2y=5
(1)
y(0)=1
y'(0)=2
解：
1）先解(1)的特解：y*=2.5
(观察法得到，代入(1)方程成立)
2）再解：齐次方程：
y"-3y'+2y=0
（2）
的通解：为此先（2）的特征方程：s^2-3s+2=0
s1=1
s2=2
(2)的通解：y=Ae^(x)+Be^(2x)
3)
非齐方程(1)的通解：
y(x)
=
Ae^(x)+Be^(2x)
+
2.5
4)
由初始条件确定A,B:
y(0)=1
:
A+B+2.5=1
y'(0)=2:
A=1/3
B=7/6
最后：y(x)=(1/3)e^(x)+(7/6)e^(2x)
+
2.5