Question

三角形ABC的外接圆半径为R,C=60°,则a+b/R的最大值为多少

Answer 1

设外接圆的圆心为o，
则对于三角形oab，oa=ob=r，∠aob=2∠c=120度，所以c=√3*r。
对于三角形abc运用余弦定理，可得
c^2=(√3*r)^2=3r^2=a^2+b^2-2ab*cos(60度)=a^2+b^2-ab。
所以
(a+b)^2/r^2=3(a+b)^2/(3*r^2)=3(a+b)^2/(a^2+b^2-ab)
=3(1+3ab/(a^2+b^2-ab))≤3(1+3ab/(2ab-ab))≤12
所以(a+b)/r≤2√3，当且仅当a=b即三角形abc为等边三角形时等号成立。

Answer 2

解：
由正弦定理得：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a=2sinA·R，b=2sinB·R
(a+b)/R=(2sinA·R+2sinB·R)/R
=2(sinA+sinB)
=2·2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=4sin[(180°-C)/2]cos[(A-B)/2]
=4sin[(180°-60°)/2]cos[(A-B)/2]
=4sin60°cos[(A-B)/2]
=4·(√3/2)cos[(A-B)/2]
=2√3cos[(A-B)/2]
cos[(A-B)/2]≤1，当且仅当A=B=60°时取等号
(a+b)/R≤2√3，当且仅当A=B=60°时取等号
(a+b)/R的最大值为2√3