Question

将二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x3+3x2x3 转化为标准型.

Answer 1

令
x1=y1+y2,
x2=y1-y2,
x3=y3
则
f
=
2(y1+y2)(y1-y2)+2(y1+y2)y3-6(y1-y2)y3
=
2y1^2-4y3y1-2y2^2+8y3y2
=
2(y1-y3)^2-2y2^2-2y3^2+8y3y2
=
2(y1-y3)^2-2(y2-2y3)^2+6y3^2
=
2z1^2
-2z2^2
+6z3^2
--
标准形
=
w1^2
+
w2^2
-
w3^2
--
规范型
标准形不是唯一的
规范型唯一,
由正负惯性指数唯一确定(不考虑顺序)