Question

已知数列{an}中，a1=3/5，an=2-1/a（n-1）(n>=2),数列{bn}满足bn=1/an-1，求证bn是等差数列

Answer 1

证：设2bn=b(n+1)+b(n-1)
(n>=2)
2bn=2/(an-1)
b(n+1)
=1/[a(n+1)-1]
b(n-1)
=1/[a(n-1)-1]
即有
2/(an-1)
=1/[a(n+1)-1]+
1/[a(n-1)-1]
=2/(an-1)
显然成立
bn是
等差数列

(n>=2)
a1=3/5
b1=-5/2
a2=1/3
b2=-3/2
a3=-1
b3=-1/2
2b2=b3+b1
因此
bn是等差数列
(n>=1)

Answer 2

a(1)=3/5,
a(n+1)=2-1/a(n),
a(n+1)-1=1-1/a(n)=[a(n)-1]/a(n),
若a(n+1)=1,
则,
a(n)=1,
...,
a(1)=1,与
a(1)=3/5矛盾.因此,a(n)不为1.
1/[a(n+1)-1]
=
a(n)/[a(n)-1]
=
1
+
1/[a(n)-1],
b(n+1)
=1/[a(n+1)-1]
=
1
+
1/[a(n)-1]
=
1
+
b(n),
{b(n)}是首项为
b(1)=1/[a(1)-1]=1/[3/5-1]=-5/2,公差为1的等差数列.