Question

若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy最小值是

Answer 1

因为 xy≥18，所以，xy的最小值是18 。

由基本不等式,得 2x+y≥2√(2xy)

从而 由 2x+y+6=xy得

2√(2xy)+6≤xy (1)

令 t=√(xy)

则(1)式可化为

t² -2√2·t -6≥0

(t+√2)(t-3√2)≥0

因为 t>0,从而t-3√2≥0

即 t≥3√2

所以产xy=t²≥18

所以xy的最小值为18

简介

在数学分析中，在给定范围内（相对极值）或函数的整个域（全局或绝对极值），函数的最大值和最小值被统称为极值（极数）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位提出函数的最大值和最小值的数学家之一。

如集合论中定义的，集合的最大和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。

Answer 2

∵正实数x,y，∴xy>0
∴2x+y≥2√(2xy)
∴2x+y+6=xy≥2√(2xy)+6
即xy-2√2*√(xy)-6≥0
解不等式，得
√(xy)≥3√2 (√(xy)≤-√2舍弃)
∴xy≥(3√2)^2=18
∴xy的最小值是18（当x=3，y=6时取最小值）

Answer 3

提示：xy=2x+y+6>=根号2xy+6，易解得根号2xy>=(根号26-根号2)/2，故xy>=7-根号13，xy的最小值为7-根号13。

Answer 4

∵正实数x,y，∴xy>0
∴2x+y≥2√(2xy)
∴2x+y+6=xy≥2√(2xy)+6
即xy-2√2*√(xy)-6≥0
解不等式，得
√(xy)≥3√2 (√(xy)≤-√2舍弃)
∴xy≥(3√2)^2=18
∴xy的最小值是18

Answer 5

解：由均值不等式 xy=2x+y+6≥2√﹙2xy﹚＋6，解得xy≥18﹙xy≤2,舍去﹚ 所以xy最小值为18.