Question

如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1

，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An．设∠A=θ ：则（1）∠A1=—— （2）∠An的度数有什么规律？写出规律，并说明理由

Answer 1

您好。
百度知道羽灵飞雪很高兴为您解答。
以A和A1两个角为例，
∠ACD=∠A+∠ABC ,
∠A1CD=1/2*∠ACD=1/2*∠A+1/2*∠ABC=1/2*∠A+∠A1BC ,
∠A1CD为外角=∠A1+∠A1BC所以，
∠A1=1/2∠A，
因此，每分一次，
角度变为一半∠A4=1/2^4*∠A=1/16*∠A=4°
望采纳。

Answer 2

解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线，
∴∠A1BC=

1

2

∠ABC，∠A1CD=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠A1，
∴∠A1=

1

2

∠A，
∵∠A=θ，
∴∠A1=

θ

2

；

（2）同理可得∠A2=

1

2

∠A1，=

1

2

•

1

2

θ=

θ

22

，
所以∠An=

θ

2n

．
故答案为：（1）

θ

2

，（2）

θ

2n

．

（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=

1

2

∠ABC，∠A1CD=

1

2

∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；
（2）与（1）同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的

1

2

，根据此规律即可得解．

Answer 3

分两步进行。
①先求∠BAC：
∠PCD=∠PBC+∠BPC，
即1/2∠ACD=40°+1/2∠ABC，
∴∠ACD=∠ABC+80°，
又∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=80°；
②证P在∠BAC的外角平分线上：
过P分别作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BA的延长线于Q，
由角平分线性质定理得：PM=PN，PM=PQ，
∴PN=PQ，
∴P在∠QAC的角平分线上，
∴∠CAP=1/2(180°-∠BAC)=50°。

Answer 4

∠A1=1/2 ∠A；
∠An=1/2n∠A。

Answer 5

∠ACD-∠ABC=∠A=θ
∠A1=∠A1CD-∠A1BC=1/2∠ACD-1/2∠ABC=1/2θ
∠A2=1/2*1/2θ=1/4θ
∠An=(1/2)^nθ