Question

代数数系数方程的解一定都是代数数?

Answer 1

如果只是作为方程系数的话，那么方程的解一定是代数数。
事实上每一个代数数方程可以通过乘以一个代数式变成整系数方程。
比如方程x^2-√2x+1=0可以乘以x^2+-√2x+1变成整数方程。
x^2+2^(1/3)x+1=0可以乘以2^(2/3)x^2
+
2^(1/3)x(x^2+1)
+
(x^2+1)变成整数方程。
所以每次乘以一个适当的配偶代数式就可以利用a^n+b^n的分解来消掉一个无理数，从而最后一定能变成整系数方程。
两个代数数的和、差、积与商也是代数数，因此代数数构成了一个域，有时记为A。每一个系数为代数数的多项式方程的根也是代数数。因此，代数数域是代数封闭域。实际上，它是含有有理数的最小的代数封闭域，因此称为有理数的代数闭包。