Question

|x-a2+a+2|+|x-a2+3a-1|=2a-3

集合A={x|x2+(2a-3)x-3a=0,x∈R},B={x|x2+(a-3)x+a2-3a=0,x∈R}满足A≠B,且A∩B≠∅,用举例表示A∪B

Answer 1

解
因为集合A={x|x2+(2a-3)x-3a=0,x∈R},B={x|x2+(a-3)x+a2-3a=0,x∈R}满足A≠B,且A∩B≠∅
所以说明方程 x2+(2a-3)x-3a=0 和 x2+(a-3)x+a2-3a=0至少有一个根实数根相同.
有三种情况：
（1）两个方程都有两个不同的实数根,但有且只有一个是相同的；
（2）A方程有两个不同的实数根,B方程有两个相同同的实数根,并且有且只有一个是相同的；
（3）B方程有两个不同的实数根,A方程有两个相同同的实数根,并且有且只有一个是相同的.
因为A方程x2+(2a-3)x-3a=0 （-3a）=4a²+9＞0,所以A方程有两个不同的实数根
因为B方程x2+(a-3)x+a2-3a=0 △=(a-3)²-4*（a2-3a）=-3（a+1）（a-3）≥0,解得-1≤a≤3
由此可见只存在上述（1）（2）两种情况 且a∈[-1,3]
通过联立方程可以求出相同的根
解方程组 x2+(2a-3)x-3a=0,x2+(a-3)x+a2-3a=0得
a=0或a=2 显然a∈[-1,3]
当a=0时,把a=0带入方程A和B解得 A={0,3} B={0,3}
显然A=B,不符合题目A≠B的要求,所以a不能等于0
当a=2时,把a=2带入方程A和B解得 A={2,-3} B={-1,2}
显然A≠B,A∩B={2}≠∅,符合题目要求
所以A∪B={-3,-1,2}