Question

求高等数学中一元、二元、复变函数的导数和微分的区别？

最近在学复变函数，感觉这个导数和微分的区别比较凌乱，求解，尽可能详细有层次一些，可以尽可能地拓展

Answer 1

一元函数中可导和可微是两个等价的概念，一元函数可导的要求很低，只要左右导数存在且相等即可；二元函数可微的要求就要高一些了，偏导数连续一定可微，可微一定偏导数存在，反之不成立，也就是说有的二元函数可微但偏导数不连续，也有的偏导数存在但不可微；复变函数可导与可微也是等价的，但复变函数可微的要求更高，不但要求f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中两个实函数u,v满足二元函数可微的相关条件，还要满足柯西黎曼方程u'x=v'y，u'y=-v‘x。

追问

我想了解一点更深层次的东西，就像复变函数可不可以跟二元函数作类比，一元归根结底也是多元的一部分，怎样理解可以将上述所说的统一到一起，麻烦了，谢谢

追答

如果按照你的思路，那么可以认为二元函数是复变函数的特例（v=0），一元函数是二元函数的特例，因此可微这个性质对于范围最广的复变函数要求最强，随着函数范围的减小，函数可微的条件也相应地降低，直到最特殊的一元函数，可微条件最弱。