Question

请问这个用基本不等式怎么证明？

Answer 1

设x、y为任意实数，
则
(x-y)的平方大于等于0，
即
x的平方-2xy+y的平方大于等于0，
于是得
x的平方+y的平方大于等于2xy；
设a等于x的平方、b等于y的平方，则
2xy等于2根号(ab)，
所以得到
a+b大于等于2根号(ab)，其中a、b为正实数.
本来a、b等于0时，不等式也是成立的，但考虑实用性，故只取正数.

Answer 2

由
二项式定理
，
（1+2/√n)^n
=1+n*2/√n+n(n-1)/√n+……
=1+（n+1)√n+……
>n(n>=3,n∈N+),
容易验证n=1,2时（1+2/√n)^n>n.
对上式两边开
n次方
，得1+2/√n>n^(1/n),
∴n^(1/n)-1<2/√n.