Question

数学线性代数问题，为什么x^4的aij的下标只能取图片所列的，同问x^3

Answer 1

这不是好题目, 计算量比较大, 与出题本意相悖, 而且答案也有错.
如果把题目改成分析x^5和x^4项的系数还比较合理.

这里题目的本意是希望利用行列式n!项展开的方式定位出x的高次项, 是组合数学的技术.

首先看x^5项, 必须每行每列都贡献一个x因子才行. 注意到a_{11}, a_{44}, a_{52}是所在行仅有的x项, 这几项必须要. 选定了上述三项之后相应的三行三列都去掉, 余下两行两列里只有a_{23}a_{35}满足要求, 所以在行列式展开120项当中x^5项只有这样一项42x^5.

然后看x^4项, 与x^5项类似, 但有五行中应该恰有一行贡献出一个常数而非x.
假定第1行贡献的是常数项, 那么后四行得贡献出4个含x的项, 用上面同样的方法可以分析出这样的四项只有a_{21}a_{35}a_{44}a_{52}和a_{23}a_{35}a_{44}a_{52}两种情况, 但注意到a_{11}含有x, 所以只有a_{31} * a_{21}a_{35}a_{44}a_{52}这一项能产生x^4.
同样的方法可以分析第2, 3, 4, 5行提供常数项的情况.
这一部分你贴的图是对的.

如果要看x^3, 那就麻烦了, 理论上当然也是恰好有两行出现常数项, 另外三行出现x, 但这样的项很多(比如图片里没有提到的a_{14}a_{23}a_{35}a_{41}a_{52}), 用上面的办法做划不来, 还不如把行列式算出来. 所以我说这题出得不好, "答案"也是错的.

追问

太给力了，你的回答完美解决了我的问题！