Question

一阶微分方程怎么解

Answer 1

一阶微分方程的一般形式：y'+p(x)y=q(x);
解法：积分常数变易法。
先求齐次方程 y'+p(x)y=0的通解。分离变量得 dy/y=-p(x)dx；
积分之得：lny=-∫p(x)dx+lnc；故齐次方程的通解为：y=ce^(-∫p(x)dx);
将c换成x的函数u(x)，得：y=ue^(-∫p(x)dx)............①；
取导数得 y'=u'e^(-∫p(x)dx-ue^(-∫p(x)dx)•p(x)............②;
将①②代入原式得：u'e^(-∫p(x)dx-ue^(-∫p(x)dx)•p(x)+p(x)ue^(-∫p(x)dx=q(x);
化简(消去同类项)得：u'e^(-∫p(x)dx=q(x)；
故u'=du/dx=q(x)e^(∫p(x)dx); ∴u=∫q(x)e^[(∫p(x)dx)dx];
代入①式即得原方程的通解为: y=e^(-∫p(x)dx)•∫q(x)e^[(∫p(x)dx)]dx;

Answer 2