Question

三重积分定限问题？

三重积分的时候经常搞不清楚上下限，有的时候，我明明觉得是某个数值，结果正确答案是用某些参数表达的；比如上题中，如果采用先做一个二重积分，然后做定积分的话，该怎么定限，是多少，最好能将过程用图片展示出来，谢谢；

Answer 1

曲线关于z轴对称，把那条曲线绕z轴旋转一周后就是个类似于圆锥的立体，被两平面所截后成母线为曲线的类圆台，投影到YOX平面上，就是个环形，用环形确定x和y的上下限即可。

明显z=2时y²=4，得环的内径r=2，即x²+y²=4；z=8时y²=16，得环的外径R=4，即x²+y²=16。

之后再积。

 

祝愉快

追问

首先谢谢这么形象的图；不过在三重积分的时候，不是要转换成一个定积分和一个二重积分吗？根据立体的特点，如果要先再xy投影，再对z定限，那么需要将立体分块，我放弃了这个方法；我是想用答案的方法，先二重积分，再定积分；那么此时二重积分用极坐标表示，角度是0-2π，半径的范围是我不明白的，按照我的理解，其半径范围应该是0-4啊，但是答案是0-根号下2z；如下

追答

先对x、y积分再积z的话不用分块，直接用公式(3)。因为在【2，8】的每个z都对应XOY的一个完整的圆，且每个圆都有z=r²/2≥(x²+y²)/2，一个个圆地往上积分即可。

这里的投影关于原点对称，可转化为极坐标，答案的第二个等号就是这样。这种方法也是先二重积分再对z积分。有ρ=r，又因为是积分整个圆，故ρ的有效长度是【0，r】。一个个圆地往上积分，那么ρ的上限就不断变化，这是由于类圆台的母线是曲线z=r²/2=ρ²/2≥(x²+y²)/2，母线上的点的投影对应为ρ的上限，即不同的z值，对应的ρ会有不同的上限，故ρ的上限不是常数，而是曲线函数√(2z)。见下图：

 

该题目只在先对z积分再对x、y积分时才需要分块：把小圆沿z轴向上平移，在Ω内划出一个圆柱，这部分积分很容易，有2≤z≤8；对剩下部分积分时才有√((x²+y²)/2)≤z≤8，z的下限是曲线函数而非常数。

 

不懂的话欢迎追问

Answer 2

大事发生发发日发无法无法大家awl看法ksfyauwd656754