Question

在平面直角坐标系X0Y中，已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=根号（2/3）,且椭圆C上的点

在平面直角坐标系X0Y中，已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=根号（2/3）,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3

1）求椭圆C的方程
（2）在椭圆C上，是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:X^2+Y^2=1相交于不同两点A,B，且三角形OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相应的三角形OAB的面积；若不存在，请说明理由

只是第二问不会做，写第二问的解答过程就可。。。
第一问答案：x^2/3+y^2=1
第二问答案：共有四个点M（根号6/2，根号2/2）,或M（-根号6/2，-根号2/2）或M（-根号6/2，根号2/2）或M（根号6/2，-根号2/2） 面积最大值为1/2。

Answer 1

x^2/3+y^2=1

(2)
M(m,n)在椭圆上
那么m^2/3+n^2=1
直线l:mx+ny=1
与圆O:X^2+Y^2=1相交于不同两点A,B，

那么O到l的距离d<1
即0<d=1/√(m^2+n^2)<1
那么m^2+n^2>1
根据勾股定理：
|AB|=2√(1-d^2)
∴三角形OAB的面积

S=1/2*|AB|*d
=d√(1-d^2)
=√(d^2-d^4)
=√[1/4-(d^2-1/2)^2]
∵1/4-(d^2-1/2)^2≤1/4
∴当d^2=1/2时，S取得最大值1/2
此时，1/2=1/(m^2+n^2)
∴m^2+n^2=2
又m^2/3+n^2=1
解得m^2=3/2
∴m=±√6/2 ,n=±√2/2
即S最大值为/12,
此时，M(±√6/2,±√2/2)共4个点