Question

已知函数在某点的某去心邻域内可导，在该点某邻域内连续，求证该函数的导函数在该点某邻域内连续

我觉得没有问题，可是问题是做题的时候推导过程怎么写啊，不能写“我觉得命题成立”吧。。。

Answer 1

已知f(x)在(a-t,a+t)连续, 在(a-t,a)∪(a,a+t)可导, 求证f'(x)在a的某邻域内连续?
这个结论是不成立的, 在此条件下, f'(x)甚至未必在a有定义, 例如f(x) = |x|, a = 0.

即便将条件加强为f(x)在(a-t,a+t)可导, 仍然有反例: f(x) = x^2·sin(1/x) (x ≠ 0), f(0) = 0.
可以证明f(x)处处可导, f'(0) = 0, 但对x ≠ 0, f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x).
可知0是f'(x)的第二类间断点.

即便进一步将结论减弱为f'(x)在a的某去心邻域内连续也是不成立的.
从上面的构造出发, 用函数项级数可以构造F(x) = ∑{1 ≤ n} f(x-1/n)/2^n,
其中f(x) = x^2·sin(1/x) (x ≠ 0), f(0) = 0.
F(x)同样处处可导, 但F'(x)在1, 1/2, 1/3, 1/4,...处都不连续.
因此F'(x)不在0的任意去心邻域内连续.