Question

这题极限怎么解？

Answer 1

∵x[n+1]＝1/2（x[n]＋1/x[n]）≥1（算数平均值≥几何平均值）
∴x[n+1]/x[n]＝1/2+1/2（x[n]）²＜1/2+1/2＝1，
那么，x[n]递减，且有下界，单调有界数列必有极限，那么，x[n]有极限，设这个极限为a，
由x[n+1]＝1/2(x[n]+1/x[n])，
对这个递归方程两边取极限，则得
a＝1/2(a＋1/a)，
于是a＝1/a，因a＞0，
所以，a＝1。