Question

曲面积分计算问题（高斯定理的利用）计算曲面面积I = ∫∫2x^3dydz+2y...

曲面积分计算问题（高斯定理的利用） 计算曲面面积 I = ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy ∑ 其中∑是曲面z=1-x^2-y^2(z>=0)的上侧 我想知道第一次运用高斯定理之后的三重积分如何作! 仰望的思路正确，不过三重积分的结果有问题，还有就是dxdy的平面面积是π（2π是周长）不过还是要谢谢你

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

高斯公式要求封闭的曲面,所以在下面补了一个面,然后再减去,最后用柱面坐标积分,我是这么想的~
I=+∫
∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv-
∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx-3dxdy
=∫【0,2π】d0∫【0,1】dr∫[0,(1-r^2)](6r^2+6z)dz-∫∫3dxdy
=24π/5-6π=-6π/5
而∑表示的是一个抛物面,在dxdy上的投影是一个圆形面积为2π