Question

求函数f（x）=x+1/x（x>0）的单调区间

求函数f(x=x 1/x(x>o)的单调区间,并证明

Answer 1

主要通过导数来求

望采纳

Answer 2

x＞0
f(x)=x+1/x
=(√x)²-2*√x*1/√x+(1/√x)²+2

=[(√x)-1/(√x)]²+2≥2
当√x=1/√x时，即x=1时，有极小值2
单调减区间（0，1）
单调增区间（1，+∞）；
证明：
首先：
令0＜x1＜x2＜1
f(x2)-f(x1)=(x2+1/x2)-(x1+1/x1)
=(x2-x1)-(1/x1-x2)
=(x2-x1)-(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)[(x1x2-1)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2＜1
∴ x2-x1＞0，(x1x2-1)＜0，x1x2＞0
∴f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[(x1x2-1)/(x1x2)＜0
∴f(x2)＜f(x1)
∴ 0＜x＜1时，f(x)单调减
其次：
令1＜x3＜x4
f(x4)-f(x3)=(x4+1/x4)-(x3+1/x3)
=(x4-x3)-(1/x3-x4)
=(x4-x3)-(x4-x3)/(x3x4)
=(x4-x3)[(x3x4-1)/(x3x4)
∵1＜x3＜x4
∴ x4-x3＞0，(x3x4-1)＞0，x3x4＞0
∴f(x4)-f(x3)=(x4-x3)[(x3x4-1)/(x3x4)＞0
∴f(x4)＞f(x3)
∴x＞1时，f(x)单调增