Question

数学 求微分方程

Answer 1

解微分方程：
1。求dy/dx=2xy的通解
解： 分离变量得dy/y=2xdx；积分之得lny=x²+lnC；故得通解为u=e^(x²+lnC)=Ce^(x²).
2。y²+x²(dy/dx)=xy(dy/dx)
解：两边同除以xy，得(y/x)+(x/y)(dy/dx)=dy/dx；即有[1-(x/y)](dy/dx)=y/x............(1)；
令y/x=u，则y=xu，dy/dx=u+x(du/dx)，代入(1)式得：
[1-(1/u)][u+x(du/dx)]=u；展开得u-1+x(1-1/u)(du/dx)=u；
化简得x(1-1/u)(du/dx)=1；分离变量得(1-1/u)du=dx/x；
积分之得u-lnu=lnx+lnC=ln(Cx)，将u=y/x代入即得通解：(y/x)-ln(y/x)=ln(Cx)
或移项得：y/x=ln(Cx)+ln(y/x)=ln(Cy)，于是通解又可些为：y=(1/C)e^(y/x).
3。求特解：xy'+y=xe^x，已知y(1)=1.
解：x(dy/dx)+y-xe^x=0，即有(y-xe^x)dx+xdy=0；
其中P=y-xe^x；Q=x；由于∂P/∂y=1=∂Q/∂x，故原方程是全微分方程。
其解u(x，y)=[0，x]∫(y-xe^x)dx+[0，y]∫xdy=[yx-(x+1)e^x]∣[0，x]+xy∣[0，y]
=yx-(x+1)e^x-1+xy=C
将初始条件y(1)=1代入得C=1-2e-1+1=1-2e；
故特解为yx-(x+1)e^x-1+xy=1-2e，化简得y=[(x+1)e^x-2e+2]/2x为特解。
4。求y''-5y'+6y=(x+1)e^(4x)的通解。
解：齐次方程y''-5y'+6y=0的特征方程为r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0，故得r₁=2，r₂=3.
于是得齐次方程的通解为y=C₁x^(2x)+C₂x^(3x)；
再用待定系数法求出非齐次方程y''-5y'+6y=(x+1)e^(4x)的一个特解y*；
设y*=(b₁+b₂x)e^(4x)
(y*)'=b₂e^(4x)+4(b₁+b₂x)e^(4x)=(4b₁+b₂+4b₂x)e^(4x)
(y*)''=4b₂e^(4x)+4(4b₁+b₂+4b₂x)e^(4x)=(16b₁+8b₂+16b₂x)e^(4x)
代入原式得(16b₁+8b₂+16b₂x)e^(4x)-5(4b₁+b₂+4b₂x)e^(4x)+6(b₁+b₂x)e^(4x)=(x+1)e^(4x)
消去e^(4x)，合并同类项得 2b₁+3b₂+2b₂x=x+1
对应项系数相等，故得2b₁+3b₂=1.......(1)；2b₂=1........(2)；
联立求解得b₂=1/2，b₁=-1/4；故y*=[-1/4+(1/2)x]e^(4x)=-(1/4)(1-2x)e^(4x)
于是得原方程的通解为y=C₁x^(2x)+C₂x^(3x)-(1/4)(1-2x)e^(4x)

Answer 2

Answer 3

Answer 4

1.移项。dy/y=2xdx,两边积分lny=x^2+C,y=e^(x^2+C)
2.dx/dy=(xy-x^2)/y^2=x/y-(x/y)^2
令u=x/y,x=uy,dx/dy=ydu/dy+u
ydu/dy+u=u-u^2
ydu/dy=-u^2
du/-u^2=dy/y
1/u=lny+C
y/x=lny+C
y-xlny+Cx=0
3.xdy/dx+y=xe^x
dy/dx+(1/x)y=e^x
这是一个一阶线性非齐次微分方程，令P(x)=1/x Q(x)=e^x
其特解为
y=e^-∫P(x)dx *∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx
=e^-(lnx+C1)*e^C2*(xe^x-e^x+C3)
=e^(C2-lnx-C1)*(xe^x-e^x+C3)
x=1时，y=e^-C1*e^C2*C3=C3e^(C2-C1)=1
即C2-C1=0，C3=1,代入得
y=e^(-lnx)*(xe^x-e^x+1)=(xe^x-e^x+1)/x
4.对应的特征方程r^2-5r+6=0
r=2 r=3
f(x)=(x+1)e^4x
4不是特征方程的根
所以设特解为y=(Ax+B)e^4x
y'=4(Ax+B)e^4x+Ae^4x=(A+4Ax+4B)e^4x
y''=16(Ax+B)e^4x+4Ae^4x+4Ae^4x=(8A+16Ax+16B)e^4x
(8A+16Ax+16B)e^4x-(5A+20Ax+20B)e^4x+(6Ax+6B)e^4x
=(3A+2Ax+2B)e^4x=(x+1)e^4x
所以A=1/2 B=-1/4
即特解为y=(x/2-1/4)e^4x
所以方程通解为y=C1e^2x+C2e^3x+(x/2-1/4)e^4x

Answer 5

很难， 得好好学习了