证明函数奇偶性？
3个回答
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设f(x）不是奇函数，则至少存在一点x0使得f(x)≠f(x0)
由积分可得，对任意x∈R，有积分x到x+△x f(t) dt = - 积分-x-△x到-x f(t) dt。
这对x=x0也成立。假设|f(x)-f(x0)|=a。
现取一足够小的△x，使得|f(x+△x)-f(x)|以及|f(-x-△x)-f(-x)|均小于a/2，那么有积分x到x+△x f(t) dt ≠ - 积分-x-△x到-x f(t) dt，矛盾。
因此，f(x)必然是奇函数。
由积分可得，对任意x∈R，有积分x到x+△x f(t) dt = - 积分-x-△x到-x f(t) dt。
这对x=x0也成立。假设|f(x)-f(x0)|=a。
现取一足够小的△x，使得|f(x+△x)-f(x)|以及|f(-x-△x)-f(-x)|均小于a/2，那么有积分x到x+△x f(t) dt ≠ - 积分-x-△x到-x f(t) dt，矛盾。
因此，f(x)必然是奇函数。
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证明如上图。
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f(x)连续，可以直接运用微积分基本定理
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