Question

求空间曲线的弧长微分（第一类曲线积分）

如果已经知道曲线Γ：x=φ(t);y=ψ(t);z=ω(t),那么ds=√( [φ‘(t)]^2+[ψ'(t)]^2+[ω'(t)]^2 )
那如果知道的曲线Γ是一般式的话，例如Γ: F(x,y,z)=0;G(x,y,z)=0，那么它的ds是什么呢？有了ds之后又如何计算？是带入化为与x,y,z其中任意两者相关的二重积分吗？

Answer 1

空间曲线的弧长积分，只有化为参数方程是常用的
对于Γ：F(x，y，z)和G(x，y，z) = 0
往往可以设为参数方程：x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)
ds = √(dx² + dy² + dz²) dt = √[x'(t)² + y'(t)² + z'(t)²] dt
代入之后就是一个普通的定积分
∫L ƒ(x，y，z) ds
= ∫(α→β) ƒ[x(t)，y(t)，z(t)] * √[x'(t)² + y'(t)² + z'(t)²] dt

例如Γ是球面x² + y² + z² = 9/2与平面x + z = 1的交线。
将z = 1 - x代入球面方程得(1/2)(x - 1/2)² + (1/4)y² = 1
即[(x - 1/2)/√2]² + (y/2)² = 1
令(x - 1/2)/√2 = cost，y/2 = sint
即x = 1/2 + √2cost，y = 2sint
z = 1 - x = 1 - (1/2 + √2cost) = 1/2 - √2cost
{ x = 1/2 + √2cost
{ y = 2sint
{ z = 1/2 - √2cost
0 ≤ t ≤ 2π
ds = √[x'(t)² + y'(t)² + z'(t)²] dt = 2 dt
所以∫L ƒ(x，y，z) ds
= ∫(0→2π) ƒ(1/2 + √2cost，2sint，1/2 - √2cost) * 2 dt
若ƒ(x，y，z)与曲线方程符合的话，也先将曲线方程代入ƒ(x，y，z)中化简积分

追问

= =这个我已经知道了，而且我问的也不是这个。。。不过我已经解决了，还是谢谢你

Answer 2

附件传不上来，大家不需要做出来，只需要给我提供思路