Question

求导问题

如图，求

，如果可以的话再分别对a,b,c求导。多写多加分。
真的太感谢了,研究了很多天都IRT中的3PLM参数估计方法,好不容易公式看懂了,但是最后求导不会.
描述是这样的

前面求出了

所以2-2式也就出来了,也就是lnL的一阶导出来了,但是还有二阶导需要求,才能用牛顿迭代法计算出θ的值,不知道您能不能帮我计算下分别对θ,a,b,c求二阶导后的结果.因为要用程序实现,所以不把公式写出来这些天就白研究了.麻烦您帮我把二阶导也计算一遍了,再给您加100分.
还有不知道您对3PLM的参数估计有没有研究,现在不清楚的a,b的初值的粗略估计.θ和c的都知道了,θ的就是上面(1)中提到的,n是总答题数,r是答对的题目数量.





Answer 1

对某个变量求偏导的时候就把别的变量都看做常数，
然后用链式法则一步步来计算

所以
∂P/∂θ=(1-c) *∂ 1/[1+e^-Da(θ-b)]/∂θ
而
∂ 1/[1+e^-Da(θ-b)]/∂θ
= -1/[1+e^-Da(θ-b)]² *∂ [1+e^-Da(θ-b)]/∂θ
= -1/[1+e^-Da(θ-b)]² * [-Da*e^-Da(θ-b)]
=Da *e^-Da(θ-b) / [1+e^-Da(θ-b)]²
于是
∂P/∂θ=(1-c)* Da *e^-Da(θ-b) / [1+e^-Da(θ-b)]²

同理
∂P/∂a=(1-c) *∂ 1/[1+e^-Da(θ-b)]/∂a
而
∂ 1/[1+e^-Da(θ-b)]/∂a
= -1/[1+e^-Da(θ-b)]² *∂ [1+e^-Da(θ-b)]/∂a
= -1/[1+e^-Da(θ-b)]² * [-D(θ-b)*e^-Da(θ-b)]
故∂P/∂a=(1-c) *D(θ-b)*e^-Da(θ-b) /[1+e^-Da(θ-b)]²
再继续
∂P/∂b= -(1-c) *Da *e^-Da(θ-b) /[1+e^-Da(θ-b)]²
∂P/∂c= 1 -1/[1+e^-Da(θ-b)]

追问

真的太感谢了,研究了很多天都IRT中的3PLM参数估计方法,好不容易公式看懂了,但是最后求导不会.我在问题补充里面又加了些描述,不知道您能不能帮我解决,二次求导解决了,这个程序基本上就可以实现了.谢谢了.

追答

求导其实是很简单的，就是式子长了的时候挺麻烦，自己有点耐心去算就好

∂P/∂θ=(1-c)* Da *e^-Da(θ-b) / [1+e^-Da(θ-b)]²
那么
∂²P/∂θ²
= -(1-c)*D²a² *e^-Da(θ-b) / [1+e^-Da(θ-b)]²
+(1-c)* Da *e^-Da(θ-b) *(-2) *[1+e^-Da(θ-b)]^(-3) * [e^-Da(θ-b)] *(-Da)

∂P/∂a=(1-c) *D(θ-b)*e^-Da(θ-b) /[1+e^-Da(θ-b)]²
那么
∂²P/∂a²= -(1-c)*D²(θ-b)² *e^-Da(θ-b) /[1+e^-Da(θ-b)]²
+(1-c) *D(θ-b)*e^-Da(θ-b) *(-2) *[1+e^-Da(θ-b)]^(-3) *[e^-Da(θ-b)] *(-Dθ)

∂P/∂b= -(1-c) *Da *e^-Da(θ-b) /[1+e^-Da(θ-b)]²
那么
∂²P/∂b²= -(1-c) *D²a² *e^-Da(θ-b) /[1+e^-Da(θ-b)]²
-(1-c) *Da *e^-Da(θ-b) * (-2) *[1+e^-Da(θ-b)]^(-3) *[e^-Da(θ-b)] *Da

而∂P/∂c= 1 -1/[1+e^-Da(θ-b)]，与c无关了
那么∂²P/∂c²=0

那些计算都自己化简一下吧，要有点耐心的

追问

第二次求导应该是对它求导了，前面的还有一个分式和Σ求和，感觉这特别复杂啊。Σ求导的时候不用考虑是吗？不管怎么样分给你吧，真是大好人，哈哈。

追答

是的，Σ求导就想成求导过了再相加就行了啊