Question

如图，在△ABC中,AB=AC,P是BC上除B、C点外的任意一点,求证AP²+PB*PC=AB²

Answer 1

证明:作⊿ABC的外接圆,延长AP,交圆于D,连接BD.
∵AP*PD=PB*PC.(相交弦定理)
∴AP²+PB*PC=AP²+AP*PD=AP*(AP+PD)=AP*AD.
∵AB=AC.
∴∠ABP=∠C=∠ADB;
又∠BAP=∠DAB,则⊿BAP∽⊿DAB.
∴AB/AD=AP/AB,AB²=AP*AD.
故AB²=AP²+PB*PC.(等量代换)

追问

你能试一下初中的方法么0.0我实在是看不懂，就是勾股定理的方法

追答

上面我用的是初三的知识,利用勾股定理也可以.
◆证明:作AD垂直BC于D.
∵AB=AC.
∴BD=CD,则PB=BD+PD=CD+PD=2PD+PC;
∵AB²=AD²+BD²;
BD²=CD²=(PD+PC)²=PD²+2PD*PC+PC².
∴AB²=AD²+PD²+2PD*PC+PC²(等量代换)
故AB²=(AD²+PD²)+(2PD*PC+PC²)=AP²+PC*(2PD+PC)=AP²+PC*PB.