A是正规矩阵,且特征值的模为1,证明A是酉矩阵
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设A的特征值为λ1,λ2,...,λn,若A是正规矩阵,则存在酉矩阵U,使得
A=U^H diag(λ1,λ2,...,λn) U,其中diag(λ1,λ2,...,λn)是对角线为λ1,λ2,...,λn的对角矩阵.又特征值的模为1,设λ1,λ2,...,λn的共轭分别为λ`1,λ`2,...,λ`n,故有
λ1λ`1=λ2λ`2=...=λnλ`n=1,且A^H=U^H diag(λ`1,λ`2,...,λ`n) U,
所以(A^H)A=(U^H diag(λ`1,λ`2,...,λ`n) U)(U^H diag(λ1,λ2,...,λn) U)
=U^H diag(λ1λ`1,λ2λ`2,...,λnλ`n) U=U^H I U=I,其中I为单位矩阵
所以A是酉矩阵
有疑问的地方请追问
A=U^H diag(λ1,λ2,...,λn) U,其中diag(λ1,λ2,...,λn)是对角线为λ1,λ2,...,λn的对角矩阵.又特征值的模为1,设λ1,λ2,...,λn的共轭分别为λ`1,λ`2,...,λ`n,故有
λ1λ`1=λ2λ`2=...=λnλ`n=1,且A^H=U^H diag(λ`1,λ`2,...,λ`n) U,
所以(A^H)A=(U^H diag(λ`1,λ`2,...,λ`n) U)(U^H diag(λ1,λ2,...,λn) U)
=U^H diag(λ1λ`1,λ2λ`2,...,λnλ`n) U=U^H I U=I,其中I为单位矩阵
所以A是酉矩阵
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