Question

如何求矩阵的所有特征值和特征向量？

Answer 1

把特征值代入特征方程，运用初等行变换法，将矩阵化到最简，然后可得到基础解系。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。
扩展资料
求特征向量：
设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
判断矩阵可对角化的充要条件：
矩阵可对角化有两个充要条件：
1、矩阵有n个不同的特征向量；
2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。
若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P使P⁻¹AP=Λ）。
求矩阵特征值的方法如下：
任意一个矩阵A可以分解成如下两个矩阵表达的形式：
其中矩阵Q为正交矩阵，矩阵R为上三角矩阵，至于QR分解到底是怎么回事，矩阵Q和矩阵R是怎么得到的，你们还是看矩阵论吧，如果我把这些都介绍了，感觉这篇文章要写崩，或者你可以先认可我是正确的，然后往下看。
由式（22）可知，A1和A2相似，相似矩阵具有相同的特征值，说明A1和A2的特征值相同，我们就可以通过求取A2的特征值来间接求取A1的特征值。

Answer 2

求矩阵的所有特征值和特征向量，可以按照以下步骤进行：1. 先求出矩阵的特征多项式 $f(\\lambda)=|A-\\lambda I|$，其中 $|A-\\lambda I|$ 表示矩阵 $A$ 减去 $\\lambda$ 倍的单位矩阵后的行列式。2. 求出特征多项式 $f(\\lambda)$ 的所有根，即矩阵的所有特征值 $\\lambda_1,\\lambda_2,\\cdots,\\lambda_n$。3. 对于每个特征值 $\\lambda_i$，解出方程组 $(A-\\lambda_i I)x_i=0$，求出矩阵 $A$ 对应于特征值 $\\lambda_i$ 的特征向量 $x_i$。4. 所有特征值和对应的特征向量就是矩阵的所有特征值和特征向量。需要注意的是，在求解特征向量时，需要注意特征向量可能存在多解的情况，此时需要在求解中给定约束条件，比如将特征向量的模长限定为 1。