无理数的定义和证明方法
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有理数是整数和分数的集合。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。
无理数的定义
在数学中,无理数是所有不是有理数字的实数,后者是由整数的比率(或分数)构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时,线段也被描述为不可比较的,这意味着它们不能“测量”,即没有长度。
无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。
无理数集相当于实数集中有理数集的补集,实数集R,有理数集Q,所以无理数集合符号为CrQ。
证明方法
以 √2为例。证明: √2是无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理
令 √2=p/q (p、q互质)
两边平方得:
2=(p/q)^2
即:
2=p^2/q^2
通过移项,得:
2*q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m²
∴2q^2=4m^2
化简得:
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上,q和p都是偶数
∴q、p互质,且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数
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