Question

无理数的定义和证明方法

Answer 1

有理数是整数和分数的集合。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

无理数的定义

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。

无理数集相当于实数集中有理数集的补集，实数集R，有理数集Q，所以无理数集合符号为CrQ。

证明方法

以 √2为例。证明: √2是无理数

假设√2不是无理数

∴√2是有理

令 √2=p/q (p、q互质)

两边平方得：

2=(p/q)^2

即：

2=p^2/q^2

通过移项，得：

2*q^2=p^2

∴p^2必为偶数

∴p必为偶数

令p=2m

则p^2=4m²

∴2q^2=4m^2

化简得：

q^2=2m^2

∴q^2必为偶数

∴q必为偶数

综上，q和p都是偶数

∴q、p互质，且q、p为偶数

矛盾 原假设不成立

∴√2为无理数