Question

数学分析理论基础23：不定式极限

Answer 1

两个无穷小量或无穷大量之比的极限统称为不定式极限

定理：若函数 满足：

1.

2.在点 的某空心邻域 上两者都可导，且

3. （ 可为实数也可为 或 ）

则

证明：

补充定义 ，使得 在点 处连续

，在区间 (或 )上应用柯西中值定理

有

即 （ 介于 与 之间）

当令 时，也有

故

注：

1.定理中 换成 ，只要满足相应修正条件2中的邻域也可得同样的结论

2.若 仍是 型不定式极限，可再次用洛必达法则，即考察 是否存在。此时 在 的某邻域上必须满足条件

定理：若函数 满足：

1.在 的某右邻域 上两者都可导，且

2.

3. ( 可为实数，也可为 )

则

证明：

设 为实数

对满足不等式 的每个

有

在 上满足柯西中值定理

故 使得

由保号性

，使得

当 时

故

又

故

由保号性

使得 时

故

又

故

由保号性

当 时有

即证得

类似可证 或 的情形

注：

1.定理对于 或 等情形也有相同结论

2.若 满足相应条件，则可再次应用定理

3.若 不存在，不能说明 不存在

例：设 在区间 上可导， ，证明

证：

故

不定式极限还有 等类型，经过简单变换，一般均可化为 型或 型的极限

例：设

且已知 ，试求

解：

可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果

例：

解：

先求

取对数后求极限

由归结原则可得

注：不可在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量 求导没有意义