Question

设平面π过点(1,0,1)且与平面2x+y-z+2=0平行,则平面π的方程为( )

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Answer 1

设平面π过点(1,0,1)且与平面2x+y-z+2=0平行，则平面π的方程为2x+y-z=1。

平面法向量为（2,1，-1）【因为两平面平行，所以与已知平面法向量（即各未知数前面的系数）一样】 过点（1,0,1）。

故由点法式知平面方程为：

2（x-1）+1（y-0）+（-1）（z-1）=0，即：

2x+y-z=1。

相关定义

三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

Answer 2

平面法向量(2,1-1)【因两平面平行所与已知平面法向量(即各未知数前面系数)样】
过点(1,0,1)
故由点法式知平面方程:
2(x-1)+1(y-0)+(-1)(z-1)=0
即:
2x+y-z=1

Answer 3

平面法向量为（2,1，-1）【因为两平面平行，所以与已知平面法向量（即各未知数前面的系数）一样】 过点（1,0,1）
故由点法式知平面方程为：
2（x-1）+1（y-0）+（-1）（z-1）=0 即：
2x+y-z=1

Answer 4

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