Question

已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2

已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB，
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）设函数…原题可在魔方格网站找到，里面有答案，麻烦一下把图片改成文字发上来。谢啦

Answer 1

因为a²+b²=6abcosC，可得c²=a²+b²-2abcosC=4abcosC
cosC=c²/（4ab）
设三角形外接圆直径为D，则
a/sinA=b/sinB=c/sinC=D
又sin2C=2sinCcosC
于是sinCcosC=sinAsinB
代入cosC=c²/（4ab），sinA=a/D,sinB=b/D,sinC=c/D可得
D=4a2b2/c3，sinC=c4/(4a²b²)=(cosC)^2/4=4cosC^2
sinC^2+cosC^2=1，带入可得，16cosC^4+cosC^2=1
由sin²C=2sinAsinB得，c²=2ab，然后由c²=a²+b²-2ab cos c=4ab cos c=2ab，所以2cos c=1。又因为是锐角三角形
所以cos c=1/2，C=60度

Answer 2

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