Question

如何区别指数函数还是幂函数？

Answer 1

区别方法：观察函数的自变量 x 所在的位置，x 在指数位置就是指数函数，x 在底数位置就是幂函数。

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形如 y=a^x (a>0且a≠1) (x∈R) 的函数叫指数函数。
性质：
1. 定义域和值域
x ∈ R，y >0，图像在 x 轴上方
2. 单调性
a>1 时指数函数 y=a^x 是增函数
0<a<1 时指数函数 y=a^x 是减函数
3. 奇偶性
既不是奇函数，也不是偶函数。
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形如 y=x^α (α为常数）的函数叫幂函数。即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x^0 、y=x^1、y=x^2、y=x^(-1)（注：y=x^(-1)=1/x, y=x^0 时 x≠0）等都是幂函数。当α取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于α取无理数时，不大容易理解。因此，在初等函数里，不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
性质
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看其奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

α 取正值
当α>0时，幂函数 y=x^α 有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）(0,0）；
b、函数的图像在区间 [0,+∞) 上是增函数；
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
a=1 时即为一次函数 y=x（直线）
a=2 时即为二次函数 y=x²（抛物线）
α 取负值

当α<0时，幂函数 y=x^α 有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；若为x^(-2)，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
a=-1 时即为反比例函数 y=1/x（双曲线）
α 取零

当 α=0 时，幂函数 y=x^a 有下列性质：
y=x^0 的图像是直线y=1去掉一点（0,1），是两条射线，不是连续的直线（即中间有空洞）。