Question

求伯努利方程dy/dx=(lnx/x)y^2-(1/x)y的解

Answer 1

先解齐次方程

dy/dx+y/x=0,dy/y=-dx/x,积分得

y=c/x,c为常数，另外y=0也是微分方程的解，

可以认为包含在y=c/x内（c=0).

现在解dy/dx+y/x=a(inx)y^2

设y=u*c/x,dy/dx=du/dx*c/x-cu/x^2

代入方程得du/dx*c/x=a(inx)*u^2c^2/x^2,化为

du/u^2=ac*(inx/x)*dx,积分得

-1/u=1/2ac(inx)^2+b,b为常数。

u=xy/c,代入得

y=-2c/[2bx+acx(inx)^2]

这就是微分方程的通解，其中b，c为任意常数。

扩展资料：

使用伯努利定律必须符合以下假设，方可使用；如没完全符合以下假设，所求的解也是近似值。

1、定常流：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变。

2、不可压缩流：密度为常数，在流体为气体适用于马赫数(Ma)<0.3。

3、无摩擦流：摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应。

4、流体沿着流线流动：流体元素沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的。