Question

函数z＝f(x,y)在点（x0,y0）处连续是它在该点偏导数存在的什么条件

函数z＝f(x,y)在点（x0,y0）处连续是它在该点偏导数存在的：
A必要而非充分条件 B充分而非必要条件
C充分必要条件 D既非充分又非必要条件
说明理由
谢谢

Answer 1

选A必要非充分条件

如果函数z在某一点(x0,y0)处不连续，那么它在这一点的偏导数是不存在的。而且，即使在某一点连续，也不能保证它在该点一定存在偏导数，所以选A。

扩展资料

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

Answer 2

选A必要非充分条件

如果函数z在某一点(x0,y0)处不连续，那么它在这一点的偏导数是不存在的。而且，即使在某一点连续，也不能保证它在该点一定存在偏导数，所以选A。

Answer 3

偏导存在未必连续，比如偏x存在，那就关于x连续(根据一元函数的性质)，但是整个不连续；连续也未必可导，偏导当然也未必存在。所以选D