Question

如何理解曲面法向量余弦的正负？

Answer 1

曲面法向量方向余弦前两个cosA与cosB的正负号与第三个cosr相反。

曲面Z=x^2+y^2的法向量为n=(-2x, -2y, 1)。

那么曲面在三个坐标平面上的投影满足：

dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1。

所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy。

曲面积分

平面面积(Δσ)是曲面面积(ΔS)在xOy面下的投影。

曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦。

对于yoz面，dydz = cosα dS。

对于zox面，dzdx = cosβ dS。

对于xoy面，dxdy = cosγ dS。

其中dydz、dzdx、dxdy分别是dS在三个不同的面下的面积投影区域。

考虑在xoy面上，γ是曲面dS在某一点的法向量与z轴之间形成的夹角。