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1)易知BPE是直角三角形,且角B是60度,所以EP=2倍根号3;另角FPC为直角(180-30(EPB)-60(EPF)=90),角C是60度,PF=2倍根号3;即EP=PF,且角EPF=60度,你说EPF是什么形状,当然是等边三角形。
2)PC=2,所以FC=4,又角GFC=90度 (30+60),所以GF=4倍根号3,即GF=2EF,那么EF=EG。又EF=EP,所以GEP是等腰三角形,且角EPG=30度,即角GEP=120度。所以正弦定理三角形GEP的面积3倍根号3,而三角形BEP的面积=2倍根号3;因此GBE的面积是根号3
3)若根据1)的预设P是BC的三等分点,所以PC=2,而CF=2,所以PC=CF,且角C=60度,所以FPC是等边三角形,即角FPC=60度。那么角EPB=60度。又角B=60度,那么EPB是等边三角形,所以EP=BP=4。
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若不预设P是BC的三等分点,即P是任意点,要满足AE=FC的条件,可证明P必为三等分点,简单证明(详细的如你需要,我可以再告诉你)如下
根据圆周角的性质,可知要使角EPF=60度,P必须在一个同时通过点E和点F的圆的圆周上,且圆的半径三分之根号3的EF,即2. 而这样的圆只有两个(图中蓝色和绿色的),圆心分别在AC的三等分点(图中点N)和AB和AC两个三等分点连线的中点(点M)。且只有圆M与BC有交点,交点是BC的两个三等分点。所以若PC=2,则如上证明PE=4;若PC=4,PE=2倍根号3
2024-11-21 广告