Question

15.计算定积分 [x^3ln(1+x^4)+(25-x^2)]dx？

Answer 1

😳问题 : ∫ [x^3ln(1+x^4)+(25-x^2)]dx

👉不定积分

• 在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

• 不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

👉不定积分的例子

1. 『例子一』 ∫dx = x+C
   

2. 『例子二』 ∫ xdx = (1/2)x^2 +C
   

3. 『例子三』 ∫ sinx dx=-cosx +C
   

👉回答

∫ [x^3.ln(1+x^4)+(25-x^2)]dx

• 分开定积分

=∫ x^3.ln(1+x^4) dx +∫ (25-x^2)dx

• 利用 d(x^4) =(1/4)x^3 dx

=(1/4)∫ ln(1+x^4) dx^4 +∫ (25-x^2)dx

• 分部积分

=(1/4)x^4.ln(1+x^4)-∫ [x^7/(1+x^4)] dx  + 25x-(1/3)x^3

• x^7 = x^3. (1+x^4) - x^3

=(1/4)x^4.ln(1+x^4)-∫ [x^3 - x^3/(1+x^4)] dx  + 25x-(1/3)x^3

=(1/4)x^4.ln(1+x^4)-(1/4)x^4 +(1/4)ln|1+x^4|  + 25x-(1/3)x^3 + C

• 得出
  

∫ [x^3.ln(1+x^4)+(25-x^2)]dx 

=(1/4)x^4.ln(1+x^4)-(1/4)x^4 +(1/4)ln|1+x^4|  + 25x-(1/3)x^3 + C

😄:   

∫ [x^3.ln(1+x^4)+(25-x^2)]dx 

=(1/4)x^4.ln(1+x^4)-(1/4)x^4 +(1/4)ln|1+x^4|  + 25x-(1/3)x^3 + C