Question

设函数f(X)=lnx-1/2ax^2-bx，.当a=0，b=-1时，方程2mf(X)=x^2有唯一实数解，求正数m的值。

Answer 1

方程2mf（x）=x²有唯一实数解
即x²=2m（lnx＋x）有唯一实根
令g（x）=x²-2mlnx-2mx，（x＞0）
则g（x）'=2x－2m/x－2m
令g（x）'=0，则x²－mx－m=0……①
x=（m+√（m²+4m））/2＞m
当x→0时，g（x）＞0
而函数g（x）在（0，+∞）上先减后增，要使g（x）=0有唯一实根，
则g（m/2＋√（m²+4m）/2）=0
g（x）=x²－2mlnx－2mx=0 …… ②
联立方程①②得lnx=x－1
数形结合思想:x=1
故（m＋√（m²+4m））/2=1
解方程得m=1/2.

追答

2lnx＋x－1=0
数学结合思想：
令g（x）=2lnx＋x－1
g（x）'=2/x＋1＞0
函数g（x）为增函数，
g（1）=0
∴x=1是方程①②的唯一实根。