Question

证明 (x+y+z)^2>3(xy+yz+zx)

如题，不等式证明，求做法。

Answer 1

(x+y+z)^2
=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz>3(xy+yz+zx)
所以只要求证
x^2+y^2+z^2>xy+yz+zx
2(x^2+y^2+z^2) >2(xy+yz+zx)
(x^2+y^2)+(x^2+z^2)+(y^2+z^2)>=2xy+2xz+2yz
所以x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
这个题要给出条件是:x,y,z>0 且x,y,z不相互相等

追问

为什么
(x^2+y^2)+(x^2+z^2)+(y^2+z^2)>=2xy+2xz+2yz
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

这是用什么方法

追答

x^2+y^2>=2xy 是基本不等式

(x^2+y^2)+(x^2+z^2)+(y^2+z^2)>=2xy+2xz+2yz 化简后得到的

2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+xz+yz)
所以x^2+y^2+z^2>=xy+xz+yz

Answer 2

证明：（x＋y＋z）²=x²＋y²＋z²＋2（xy＋yz＋zx）=（x²/2＋y²/2）＋（y²/2＋z²/2）＋（z²/2＋x²/2）+2（xy+yz+zx）≥xy+yz+zx＋2（xy＋yz＋zx）=3（xy＋yz＋zx）（均值不等式）.
x²+y²-2xy=（x-y）²≥0
∴x²+y²≥2xy
要好好学习，自己多思考，才能有进步啊！

Answer 3

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=(x^2)/2+(y^2)/2+(y^2)/2+(z^2)/2+(z^2)/2+(x^2)/2+2xy+2yz+2zx
(x^2)/2+(y^2)/2=1/2(x^2+y^2)>xy
同理(y^2)/2+(z^2)/2〉yz
(z^2)/2+(x^2)/2〉zx
可证明上式