Question

高等数学中无穷小的运算的一道题目

评注里面那个3次方的式子，为什么展开之后会得到x的3阶无穷小？？我怎么算得是o(x^5)？这个三次方展开不是一定会比o(x^3)高阶吗？
还是说他这个三次方的展开，用到了我画线式子的那个o(x^3)？不然的话，我不能理解啊
求助各位老师了

Answer 1

为什么展开之后会得到x的3阶无穷小？？－－－－－－－－－－展开后第一项为x^3
我怎么算得是o(x^5)？-------------------------算错了。
这个三次方展开不是一定会比o(x^3)高阶吗？－－－－－－－－－不，去掉x^3这一项后的部分比x^3高阶
还是说他这个三次方的展开，用到了我画线式子的那个o(x^3)？－－－－－与画线式子没有关系。

追问

[x-x^3+o(x^3)]^3，单单这个式子展开，是怎么得到o(x^3)这一项的呢？你能具体演算一遍吗？

追答

o(x^3)是一个大口袋，除x^3外，其他项都可以装在里面。

追问

o(x^3)是一个大口袋，你是指我画线式子里的那个o(x^3)吧

[x-x^3+o(x^3)]^3，单单这个式子展开，能得到o(x^3)这一项？或者更简单一点，[x+o(x^3)]^3，能得到o(x^3)这一项？ 不知道我表述清楚没有，哈哈

追答

[x+o(x^3)]^3，能得到o(x^3)这一项？－－－－－－－－对。
因为 lim(x→0){[x+o(x^3)]^3-x^3}/x^3=0.
根据定义：[x+o(x^3)]^3＝x^3+o(x^3)

追问

不懂你这个极限怎么算的。
lim(x→0) o(x^4) / x^3 =0 ????这个对吗？
还有，额外问一个 o(x)-o(x)=0？还是lim(x→0) o(x)-o(x)=0?
不好意思，问的有点多了

Answer 2

它解释得很清楚啊，你怎么算出来的o(x^5)？你问题具体是什么？你把sinx展开的代入到sin（sinx）当中，会发现有o(x^3)的高次幂，最后一项仍然是o(x^3)（见sinx展开公式），所以最终是o(x^3)

追问

[x-x^3+o(x^3)]^3，单单这个式子展开，是怎么得到o(x^3)这一项的呢？你能具体演算一遍吗？

追答

我就写[a+o(x^3)]^3吧，[a+o(x^3)]^3=a^3+3*a^2*o(x^3)+3*a*o(x^3)^2+o(x^3)^3=a^3+3*a^2*o(x^3)（后面两项是高阶无穷小）

追问

a是常数吗？
或者你算算这个吧[x+o(x^3)]^3，你算一遍我就大概能知道了

追答

[x+o(x^3)]^3=x^3+3*x^2*o(x^3)+3*x*o(x^3)^2+o(x^3)^3=x^3+3*x^2*o(x^3)

Answer 3

我想它是用了等价无穷小，当x趋于0时，sin x〜x