Question

证明当n趋向无穷时，n除以n的阶乘的开n次方的极限为e

Answer 1

你可以翻阅大学的高等数学课本,通常是第一册呢.
证明用到了有界单调数列,必有极限

追问

我知道，但具体思路不清楚

追答

Xn=(n!/n^n)^(1/n)
两边取对数，
lnXn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))
上式可看成 f(x)=lnx 在[0，1]上的一个积分和。即对[0，1]
区间作n等分，每个小区间长1/n。

因此当n趋于无穷时，lnXn等于f(x)=lnx在[0，1]上的定积分。

lnx在[0，1]上的定积分为-1

所以 lnXn在n趋于无穷时的极限为-1。
由于 Xn=e^(lnXn),
于是 Xn在n趋于无穷时的极限值为1/e.