Question

几道初中数学代数题

一、分解因式：x3-x2-x-2
二、x5+x+1
三、求证：整数的平方，被3除不会余2，被4除不会余2，也不会余3
四、求证：n是自然数时，n5-n一定能被30整数
五、从自然数1，2，3，……，1989种，最多可取出几个数使所取的数中任意三个数之和能被18整除
六、试证方程x2-3y2=17无整数解

请写出详细过程，说得好追加20分！谢谢！

Answer 1

1楼说实话答的不错，可是还是有些题...
有些题和2楼答的一样
1~x^3-x^2-x-2=x^3-2x^2+x^2-x-2=x^2(x-2)+(x-2)(x+1)=(x^2+x+2)(x-2)
2~x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1
=x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1
=(x^2+x+1)[x^2(x-1)+1]
=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)
3~整数可以分为被3整除，被3除余1，被3除余2
将以上3种分别设为3n,3n+1,3n+2
(3n)^2=9n^2可以被3整除
（3n+1)^2=9n^2+6n+1 被3除余1
（3n+2)^2=9n^2+12n+4被3除余1
也就是说整数的平方被3除不可能余2
同理将被4整除的数设为
4n,4n+1,4n+2,4n+3
(4n)^2=16n^2可以被4整除
(4n+1)^2=16n+8n+1被4除余1
(4n+2)^2=16n^2+16n+4可以被4整除
（4n+3)^2=16n^2+24n^2+9被4除余1
也就是说整数的平方被4除不可能余2或3
4~n^5-5
当n=1时 上式=0可以被30整除
当n不等于1时
上式可以分解为n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)
=n(n+1)(n-1)(n^2+1)
做这道题必须能看懂(n-1)n(n+1)是3个连续自然数相乘
3个连续自然数中，必有一个可以被2整除，也必有一个可以被3整除
要证明上式可以被5整除有点麻烦
要注意到（n^2+1)
设连续的5个自然数（从5的整数倍开始，也可以从其他的数开始）分别是5m,5m+1,5m+2,5m+3,5m+4 m属于非负整数
(5m+2)^2=25m^2+20m+4
（5m+2)^2+1=25m^2+20m+5 可以被5整除
同理(5m+3)^2+1=25m^2+30m+10可以被5整除
连续的3个自然数中5m,5m+1,5m+2这种连续的3个自然数必有5m能被5整除
若是像5m+1,5m+2,5m+3,5m+4这连续的自然数中的3个连续的自然数中
若是5m+1,5m+2,5m+3这种3个连续的自然数则n=5m+2 则n^2+1能被5整除
若是5m+2,5m+3,5m+4这种3个连续的自然数则n=5m+3 则n^2+1也能被5整除
若是其他的3个连续自然数则必有5m则这组3个连续的自然数中也有能被5整除的数
因此(n-1)n(n+1)(n^2+1)可以被3，2，5整除因此5n^2-1能被30整除
5~若要任3个数之和能被18整除则必须是18的倍数
而不是像1楼所说的6的倍数
例如12+18+30=60不能被18整除而是能被6整除
因此1989/18=110个
6~不用什么穷举法只要用第3题的结论就可以了
因为x^2-3y^2=17
搜易可以的到x=根号下（3y^2+17)=根号下[3(y^2+5)+2}
设y^2+5为一个任意整数m
因为第3题中证得整数的平方被3除不可能余2
设x为一个整数
则x的平方=3m+2 3m+2为被3除余2的整数
与第3题证得的结论矛盾
因为y^2+5只是整数中的一部分
但是所有的整数都矛盾
因次y^2+5也矛盾
因此y^2+5不可能是一个整数
因此y^2也不可能是一个整数
因此该方程没有整数解

累死了终于解完了

Answer 2

恩
第六替补会

Answer 3

1：原式
=x³-2x²+x²-2x+x-2
=(x²+x+1)(x-2)

2：……不会。如果是x^5+x+2的话就会解了：
原式
=x^5+x^4-x^4-x³+x³+x²-x²-x+2x+2
=(x+1)(x^4-x³+x²-x+2)
如果是求解，只需在我的答案后面减一即可。

3：关于被3除问题：
(3n)²=9n²，被3除正好；
(3n+1)²=9n²+6n+1，被3除余1；
(3n+2)²=9n²+12n+4，被3除余1。

关于被4除问题：
奇数的平方：
(2n+1)²=4n²+4n+1，除以4余1；
偶数的平方：
(2n)²=4n²，除以四正好；
所以不会余2，余3.

4：n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n²+1)(n²-1)
=n(n+1)(n-1)(n²+1)
而n与n+1必有一项被2整除；
n，n-1与n+1必有一项被3整除;
这4项中必有一项被5整除
所以一定能被30整除。

5：如果想满足条件，则必须每一个都是6的倍数。
所以1989/6=331，可以取331个数。

6：（此题很难，只好用穷举法。）
x=0，y不是整数
x=±1，y不是整数；
x=±2，y不是整数；
x=±3，y不是整数；
x=±4，y也不是整数

所有情况都不可以，所以无整数解

Answer 4

1
x^3-x^2-x-2=(x-2)(x^2+x+1)

2
x5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)

3
(3k+t)^2=t^2(mod3),
当t=0时,t^2=0(mod3)
当t=1，2时,t^2=1(mod3)
所以不可能除以3余2
(4k+t)^2=t^2(mod4)
当t=1，3时 t^2=1(mod4)
当t=0,2时 t^2=0(mod4)
所以也不可能除以4余2和3

4
首先说明被6整除
n^5-n=n(n^4-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1),(n-1)n(n+1)是连续三个数的乘积，而这三个数里必定有一个是偶数，有一个是3的倍数，所以这三个数的乘积是6的倍数
其次说明是5的倍数，当n是5的倍数时，显然成立。当n不是5的倍数时，由欧拉定理知n^4=1(mod5),所以n^5=n(mod5)
所以n^5-n是5的倍数。
如果你不知道欧拉定理，那么你可以设n=5k+2,5k+3来代进去验证一下n^5-n是5的倍数

5
先去开黑了。。。